BASI

LA NOTAZIONE SCIENTIFICA

La fisica studia fenomeni misurabili. A volte i numeri in gioco sono molto grandi o molto piccoli, per cui è opportuno indicarli in notazione esponenziale.
la notazione esponenziale, detta anche notazione scientifica, esprime un numero come il prodotto di:

un numero compreso tra 1 (incluso) e 10 (escluso)
una potenza di 10

L'ORDINE DI GRANDEZZA

L'ordine di grandezza è la potenza di 10 più vicina ad un numero.
Per ricavarlo:

si scrive il numero in notazione esponenziale, cioè una parte decimale moltiplicata per una potenza di 10
se il numero decimale è:
- < 5 l'ordine di grandezza è la potenza di 10 del numero
- ≥ 5 l'esponente va aumentato di 1

Ad esempio: 45´501 = 4,55 · 10⁴ ha ordine di grandezza 10⁴, mentre 832 = 8,32 · 10² ha ordine di grandezza 10³

ESERCIZI

L'ordine di grandezza del diametro di una molecola è 10^-10.
Qual è l'ordine di grandezza del numero di molecole che compongono, una sopra l'altra, uno spessore di 0,2 mm? SVOLGIMENTO

LE GRANDEZZE FISICHE

La fisica è una scienza quantitativa; studia fenomeni e proprietà che possono essere misurati: le grandezze fisiche.
Una grandezza fisica è una caratteristica di un fenomeno o di un oggetto che può essere misurata.
La misura è il rapporto tra una grandezza e una presa come riferimento, chiamata unità di misura.
L'unità di misura deve essere accessibile e invariabile.
Noi utilizziamo il Sistema Internazionale ( SI) costituito da 7 unità di misura, dette fondamentali.
Da queste, per moltiplicazione e divisione, si ottengono tutte le altre, dette grandezze derivate.

ESERCIZI

Una piscina è lunga 30 m, larga 20 m e profonda 2 m. Qual è la massa di acqua contenuta e quanti litri contiene?
SVOLGIMENTO

IL TERMOMETRO

Il termometro è lo strumento con cui misuriamo la temperatura.
Questa è una misura indiretta perchè misuriamo una grandezza (temperatura) tramite un'altra (lunghezza).
Ci sono diverse scale di temperatura; Qui evidenziamo la scala Celsius °C e la scala Kelvin K La conversione è: T(K)=T(°C)+273,15

DENSITA'

Una grandezza derivata è la densità, che indica la massa di un materiale contenuta in un volume unitario. Infatti materiali differenti, nello stesso volume, hanno masse differenti. L'unità di misura è kg/m³

ESERCIZI

Un oggetto pesa 81 kg e occupa un volume di 0,03 m³. che materiale è?
SVOLGIMENTO

ESERCIZI

Abbiamo comprato 270 kg di Alluminio, ma ci viene il sospetto che ci abbiano truffato. Che verifica possiamo fare?
Nota: misurando il volume scopriamo che è 0,01 m³. SVOLGIMENTO

MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI

sono dei prefissi che indicano che la misura va moltiplicata per una potenza di 10
ad esempio:

il prefisso k significa moltiplicare per 1000 ovvero per 10 ³
il prefisso c significa moltiplicare per 10^-2 ovvero per 0,01.

Nota che l'esponente ^-2 indica il numero degli zeri, ed anche che è 100 scritto al contrario, cioè da destra a sinistra.
Quando le grandezze sono elevate a potenza bisogna elevare a potenza il prefisso: ad esempio 1 km² ( 1 chilometro quadrato ) è 1 k²m² = 1· (10³)²m² = 1·10⁶m² = 1´000´000 m²

CIFRE SIGNIFICATIVE

Quando misuriamo delle grandezze il valore che troviamo è noto fino ad una certa precisione.
Ad esempio: se con un righello misuro 12,7 cm, le prime 2 cifre sono precise (certe), mentre l'ultima è imprecisa(incerta).
Le cifre significative sono il numero di cifre certe più 1 (la cifra incerta)
Nel caso dell'esempio sono 3 cifre significative.

Alcuni casi particolari li crea lo zero quando è all'inizio o alla fine di un numero:

se una cifra ha zeri a sinistra, non vanno conteggiati. Esempio: 0,023 ha due cifre significative
se una cifra ha zeri a destra dopo la virgola, vanno conteggiati. Esempio: 120,10 ha 5 cifre significative
se una cifra intera ha zeri a destra, vanno conteggiati se compaiono nella notazione esponenziale. Esempio: 270^·000 scritto come 2,70·10⁵ ha 3 cifre significative.

Le cifre significative sono importanti sia per arrotondare (cioè ridurre il numero di cifre significative) , sia nei calcoli.

ARROTONDAMENTO DI UN NUMERO

Se voglio ridurre il numero di cifre significative devo vedere la prima cifra che elimino.
Se è < 5 mantengo il valore dell'ultima cifra, altrimenti lo aumento di 1.
Esempio: 765^·241 arrotondato a 3 cifre significative diviene 765^·000, mentre a 2 cifre significative diviene 770^·000.

ADDIZIONE O SOTTRAZIONE DI DUE GRANDEZZE

Bisogna ridurre le cifre decimali al numero che ne ha di meno.
Esempio: 45,2 + 21,14 = 66,3.

MOLTIPLICAZIONE O DIVISIONE DI UNA GRANDEZZA PER UN NUMERO

Si mantiene il numero di cifre significative dsella grandezza.
Esempio: 11,3·9=101,7 che scrivo con 3 cifre significative, ovvero 102.

MOLTIPLICAZIONE O DIVISIONE DI DUE GRANDEZZE

Il risultato deve avere un numero di cifre significative uguale alla grandezza che ne ha di meno.
Esempio: 5,41·7,9 = 42,739 che scrivo con 2 cifre significative, ovvero 43.

CONSIGLIO PROCEDURALE

Quando facciamo dei calcoli conviene operare con 1 o 2 cifre decimali in più, poi arrotondare il risultato finale.

MISURA

CARATTERISTICHE DEGLI STRUMENTI

Per misurare noi utilizziamo degli strumenti di misura, che possono essere;

Digitali (la misura si legge in cifre su un display)
Analogici (la misura è indicata su una scala graduata)

Ogni strumento è caratterizzato da alcuni parametri:

Portata (massimo valore che lo strumento può misurare)
Sensibilità (minimo valore che lo strumento può misurare)
Precisione (la qualità di uno strumento)
Accuratezza (nella regolazione, quanto si discosta dal valore reale)
Prontezza (Il tempo che lo strumento impiega per dare la misura)

LA MISURA

GLI ERRORI NELLE MISURE

Gli errori che si possono commettere sono di due tipi:

Errori casuali (detti anche accidentali o statistici, dovuti ad imprecisioni accidentali, quindi danno un valore che può essere casualmente maggiore o minore)
Errori sistematici (dovuti ad imprecisioni nello strumento, quindi danno un valore sempre maggiore o sempre minore)

L'INCERTEZZA DI UNA MISURA

Il risultato di una misura ha sempre una imprecisione.
Quando facciamo una misura dobbiamo:

determinate il valore più attendibile x (che rappresenta meglio la misura vera)
valutare numericamente l'incertezza della misura e_x (detta anche errore assoluto)

Il risultato di una misura è dunque: x = x ± e_x

NOTE:

l'errore assoluto va sempre scritto con una cifra significativa
l'ultima cifra significativa del valore attendibile deve essere dello stesso ordine di grandezza dell'errore assoluto (stesso numero di cifre decimali)

RISULTATO DI UNA SOLA MISURA

x è il valore misurato
e_x è la sensibilità (valore più piccolo che può misurare lo strumento)

RISULTATO DI n MISURE

x è la media aritmetica (somma di tutte le misure diviso il numero n delle misure stesse)
e_x è la semidispersione (differenza tra il valore massimo meno il valore minimo diviso 2 (x_Max - x_min)/2)

L'ERRORE RELATIVO E L'ERRORE RELATIVO PERCENTUALE

L'errore assoluto non dà la precisione di una misura.
Ad esempio: e_x = 1 cm, è più influente su una misura x = 1 m   che non su una misura x = 1 km.
Si introduce allora l'errore relativo, che è il rapporto tra l'errore assoluto e il valore attendibile:

  ε_x = e_x /  x

L'errore relativo può essere espresso in termini percentuali (errore percentuale) moltiplicandolo per 100 e aggiungendo il simbolo %
Ad esempio: ε_x = 0,03    lo posso scrivere come ε_x = 3 %

ESERCIZI

ESERCIZIO 1:

La misura di un volume è (1,45±0,05)m³. Si calcolino l'errore relativo e l'errore relativo percentuale. SVOLGIMENTO

ESERCIZIO 2:

Le misure sincrone di un tempo impiegato in un fenomeno sono: x₁ =5,15 s ; x₂ = 5,09 s ;x₃ = 5,10s ; x₄ = 5,17 s ; x₅ = 5,16 s ;x₆ = 5,11 s .
Si scriva la misura con l'errore assoluto. SVOLGIMENTO

ESERCIZIO 3:

Con 6 timer si misurano le oscillazioni di un pendolo ottenendo i seguenti risultati:
14,6 s 14,7 s 14,4 s 14,6 s 14,5 s 14,3 s
Si calcolino il valore attendibile e l'errore assoluto e si discuta sul significato. SVOLGIMENTO

ESERCIZIO 4:

Vogliamo misurare la larghezza di una lavagna, ma non siamo molto pratici, pertanto ripetiamo la misura più volte, ottenendo i seguenti risultati:
1912 mm 1914 mm 1912 mm 1911 mm 1913 mm 1910 mm
Si calcolino il valore attendibile e l'errore assoluto e si discuta sul significato. SVOLGIMENTO

ESERCIZIO 5:

Diversi ragazzi misurano la larghezza di un tavolo, 5 ad occhio e 8 con un metro, ottenendo i seguenti risultati:
ragazzi che hanno misurato ad occhio: 3,0 m 2,0 m 2,5 m 2,6 m 2,1 m ragazzi che hanno misurato con il metro: 2,405 m 2,395 m 2,400 m 2,410 m 2,400 m 2,395 m 2,390 m 2,405 m
Calcolato il valore attendibile e l'errore assoluto, si discuta sul significato e si ragioni in termini di errore relativo. SVOLGIMENTO

ESERCIZIO 6:

Una pesa per automobili e una bilancia pesa persone danno i seguenti risultati:
Bilancia per automobile, nel pesare una autovettura, dà come valore:   1000 ± 1 kg
Bilancia per persone, nel pesare una persona, dà come valore:   90,0 ± 0,1 kg
Determina quale strumento è più preciso ragionando in termini di errore relativo e percentuale.     SVOLGIMENTO

PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Le misure possono essere:

misure dirette ( ottenute confrontandole con una unità di misura)
misure indirette ( il valore si ottiene con calcoli da altre misure)

Nelle misure indirette:

I valori attendibili si ricavano dai calcoli dei valori attendibili delle varie misure
Gli errori dipendono, invece, dal tipo di operazione

SOMMA E SOTTRAZIONE DI MISURE

Gli errori assoluti si sommano sempre
Ad esempio: ( 11,5 cm ± 0,1 cm ) + ( 6,4 cm ± 0,1 cm ) = 17,9 cm ± 0,2 cm
Ad esempio: ( 7,6 s ± 0,1 s ) - ( 5,4 s ± 0,1 s ) = 2,2 s ± 0,2 s

PRODOTTO O RAPPORTO DI UNA MISURA PER UN NUMERO

L'errore assoluto è dato dal prodotto o dal rapporto con il numero
Ad esempio: 7 × ( 5,44 cm ± 0,01 cm ) = 38,08 cm ± 0,07 cm
Ad esempio: ( 2,38 kg ± 0,01 kg ) : 10 = 0,238 kg ± 0,001 kg

PRODOTTO O RAPPORTO DI DUE MISURE

L'errore relativo è dato sempre dalla somma degli errori relativi

Pertanto nei calcoli dobbiamo:

ricavarci gli errori relativi
sommare gli errori relativi
calcolarci l'errore assoluto totale moltiplicando il valore attendibile trovato per l'errore relativo totale

Ad esempio: ( 14,82 m ± 0,01 m ) : ( 3,44 s ± 0,01 s ) ε₁ = 0,067 % ε₂ = 0,29 % ε_T ≈ 0,36 %
v = (14,82 m) : (3,44 s m) = 4,30 m/s e_v = 4,30 m/s × 0,36 % = 0,015 ≈ 0,02 m/s v = 4,30 m/s ± 0,02 m/s

ESERCIZI

Per misurare il volume di un oggetto di forma irregolare utilizziamo un becker con sensibilità 1 cm³.
Prima di inserire l'oggetto vi sono 50 cm³ di liquido, mentre dopo averlo inserito ci sono 58 cm³.
Si calcoli il volume dell'oggetto esprimendo anche il suo errore assoluto e relativo. SVOLGIMENTO

Un piccolo appezzamento di terreno di 20m per 12 m è misurato con uno strumento che ha un errore percentuale del 2,5 %:
Si calcolino gli errori assoluti delle lunghezze, il perimetro e l'errore percentuale del perimetro (si osservi che è lo stesso delle singole misure), l'area e il suo errore relativo e assoluto. SVOLGIMENTO

RAPPRESENTAZIONE DI DATI

GRAFICI: introduzione Diretta proporzionalità Pendenza Relazione lineare Proporzionalità inversa Diagrammi a torta e a barre

VETTORI

Le grandezze si dividono in:

Scalari, completamente definite da un numero (modulo), e l'unità di misura.
Esempi sono la temperatura, la massa, la densità, il volume.
Vettoriali, in cui, al numero con l'unità di misura (modulo), occorre aggiungere un percorso (una retta chiamatata direzione) e una percorrenza ( verso). Si rappresenta graficamente con una freccia, e la lettera con cui si indica va sormontata da una freccia. Se la lettera è senza freccia, si intende il solo modulo.
Esempio: dire che il cinema è a mezzo kilometro da qui non ci aiuta, occorre dire anche a sud-est, ovvero abbiamo aggiunto la direzione e il verso.

OPERAZIONI CON I VETTORI

SOMMA DI DUE VETTORI ALLINEATI

La direzione è la stessa
Si sommano i moduli se hanno lo stesso verso, altrimenti si sottraggono
Mantengono il verso del vettore con modulo maggiore

PRODOTTO ( O RAPPORTO) DI UN VETTORE PER UN NUMERO

La direzione è la stessa
Il modulo va moltiplicato ( o diviso) per il numero
Il verso è lo stesso se il numero è positivo, altrimenti si inverte

SOMMA DI VETTORI NON ALLINEATI ( METODI GRAFICI)

Abbiamo due metodi:

punta-coda: Ogni vettore mette la sua coda sulla punta del precedente e il vettore somma (risultante)parte dalla coda del primo per terminare nella punta dell'ultino
del parallelogramma: si uniscono i due vettori per l'origine, facendoli diventare i lati di un parallelogramma. La risultante è la diagonale che parte dalle origini comuni

SCOMPOSIZIONE DI UN VETTORE LUNGO DUE DIREZIONI (METODO GRAFICO)

Si procede costruendo il parallelogramma con lati paralleli alle 2 direzioni:

si mandano delle parallele alle direzioni, sia sull'origine chee sulla punta del vettore, disegnando così un parallelogramma
I vettori componenti sono i due (lati) che partono dalla coda del vettore da scomporre

La scomposizione risulta particolarmente interessante quando le due direzioni sono perpendicolari.
In questo modo possiamo introdurre le operazioni con i vettori in maniera matematica, utilizzando il seno ed il coseno:

sen α = cateto opposto α / ipotenusa cos α = cateto adiacente α / ipotenusa

SCOMPOSIZIONE DI UN VETTORE LUNGO DUE DIREZIONI ( METODO ANALITICO)

Detto α l'angolo che il vettore forma con la direzione orizzontale, abbiamo:

F_o = F · cos α F_v = F · sen α

SOMMA DI VETTORI ( METODO ANALITICO)

Si procede facendo i seguenti passaggi:

Si scompone ogni vettore nelle componenti orizzontali e verticali
Si sommano tutte le componenti orizzontali e verticali (tenendo conto del segno) ottenendo le componenti del vettore somma
Si trova il vettore somma con il teorema di pitagora, e α con la formula inversa del seno o del coseno

ESERCIZI

Si calcolino le componenti lungo est e lungo Nord di un vettore lungo 120 m ed inclinato di 70° rispetto all'est, con rotazione antioraria (verso Nord) SVOLGIMENTO

ESERCIZIO

Si calcolino le componenti lungo est e lungo Nord di un vettore lungo 812 m ed inclinato di 156° rispetto all'est, con rotazione antioraria (verso Nord) SVOLGIMENTO

ESERCIZIO

Un esploratore si muove da un rifugio spostandosi per 25 km lungo un sentiero dritto, che è inclinato di 53° da est a nord.
Incrocia poi un altro sentiero dritto, che è inclinato, sempre rispetto ad est, di 149°,e si muove per 22 km.
Calcola lo spostamento finale rispetto al punto di partenza e angolo complessivo rispetto ad est.
SVOLGIMENTO